외판원순회2 (백트래킹)

문제

외판원 순회 문제는 영어로 Traveling Salesman problem (TSP) 라고 불리는 문제로 computer science 분야에서 가장 중요하게 취급되는 문제 중 하나이다. 여러 가지 변종 문제가 있으나, 여기서는 가장 일반적인 형태의 문제를 살펴보자.

1번부터 N번까지 번호가 매겨져 있는 도시들이 있고, 도시들 사이에는 길이 있다. (길이 없을 수도 있다) 이제 한 외판원이 어느 한 도시에서 출발해 N개의 도시를 모두 거쳐 다시 원래의 도시로 돌아오는 순회 여행 경로를 계획하려고 한다. 단, 한 번 갔던 도시로는 다시 갈 수 없다. (맨 마지막에 여행을 출발했던 도시로 돌아오는 것은 예외) 이런 여행 경로는 여러 가지가 있을 수 있는데, 가장 적은 비용을 들이는 여행 계획을 세우고자 한다.

각 도시간에 이동하는데 드는 비용은 행렬 W[i][j]형태로 주어진다. W[i][j]는 도시 i에서 도시 j로 가기 위한 비용을 나타낸다. 비용은 대칭적이지 않다. 즉, W[i][j] 는 W[j][i]와 다를 수 있다. 모든 도시간의 비용은 양의 정수이다. W[i][i]는 항상 0이다. 경우에 따라서 도시 i에서 도시 j로 갈 수 없는 경우도 있으며 이럴 경우 W[i][j]=0이라고 하자.

N과 비용 행렬이 주어졌을 때, 가장 적은 비용을 들이는 외판원의 순회 여행 경로를 구하는 프로그램을 작성하시오.

 

입력

첫째 줄에 도시의 수 N이 주어진다. (2 ≤ N ≤ 10) 다음 N개의 줄에는 비용 행렬이 주어진다. 각 행렬의 성분은 1,000,000 이하의 양의 정수이며, 갈 수 없는 경우는 0이 주어진다. W[i][j]는 도시 i에서 j로 가기 위한 비용을 나타낸다.

항상 순회할 수 있는 경우만 입력으로 주어진다.

 

출력

첫째 줄에 외판원의 순회에 필요한 최소 비용을 출력한다.

 

예제 입력1

4
0 10 15 20
5 0 9 10
6 13 0 12
8 8 9 0

 

예제 출력1

35

 

- 풀이 방법

이 로직에서 가장 중요한 것은 시작 도시는 하나로 고정해도 된다는 점이다.

3개의 도시를 예를 들면

A -> B -> C -> A

B -> C -> A -> B

C -> A -> B -> C

이 3가지의 경로는 같으므로 어느 지점에서 시작하든 상관을 쓸 필요가 없다.

 

이게 가장 중요한 개념이다. (이런 개념을 생각하지 않아도 풀 수는 있는데 3번 반복해야하는 번거로움이 있다. 그리고 코드로 짜기도 힘들다)

1번부터 4번 순서대로 20도 똑같이 로직이 돌아감

 

위 방법으로 돌아가면서 현재 min 값과 비교해서 가장 낮은 값일 경우 min값을 대체해주는 방식으로 작동한다.

 

- 코드

n = int(input())

li = [list(map(int, input().split())) for _ in range (n)]

visited = [False]*n # 반복문 방문 체크
min = float('inf')
# now : 현재 도시
# depth : 몇 개의 도시를 방문했는지
# val : 누적 비용

# 시작 도시는 하나로 고정해도 됨
"""
A -> B -> C -> A
B -> C -> A -> B
C -> A -> B -> C
는 같은 사이클임
"""
def tsp(now, depth, val) :
  global min

  if depth == n :
    if min > val :
      min = val

  # 현재 로직은 A에서 부터만 시작
  for i in range(n) :
    # 지역 A 반복문 돌려서 0 이 나오면 패스
    if li[now][i] == 0 :
      continue
    else :
      # 이미 돌린 앞부분이 이미 간 부분이면 넣고 빼기
      if visited[i] :
        pass
      else :
        visited[i] = True
        val += li[now][i]
        tsp(i, depth+1, val)
        val -= li[now][i]
        visited[i] = False

tsp(0, 0, 0)

print(min)